用户材料

其他材料定律可以通过 *用户材料关键字卡片由用户定义。更多信息和示例可在第节中找到。

用户材料卡片需要编写用户材料子程序，可以是 CalculiX 类型或 Abaqus 类型。

对于 CalculiX 类型的用户材料子程序，可以参考 umat_user.f 作为示例。输入主要包括增量开始和结束时的机械拉格朗日应变张量，输出是第二类 Piola-Kirchhoff 应力张量以及第二类 Piola-Kirchhoff 应力关于机械拉格朗日应变张量的导数，两者都在增量结束时。其他输入字段的详细信息在上述参考章节中给出。

对于 Abaqus 类型的用户材料子程序，有两种可能性：要么用户只想将子程序应用于线性几何计算。在这种情况下，进入或离开子程序的应变和应力类型并不重要，前一段内容适用。但是，如果用户想将子程序应用于几何非线性计算，进入子程序的是共旋机械对数应变，所需应力是共旋柯西应力。因此，CalculiX 在调用 Abaqus 用户材料子程序之前和之后必须执行一些转换。Abaqus 用户材料子程序的原型示例请参考 umat.f，关于 Abaqus 接口字段使用的限制请参阅第节。

这里给出一些关于 CalculiX 中使用的场（机械拉格朗日应变和第二类 Piola-Kirchhoff 应力）如何转换为 Abaqus 所需场（共旋机械对数应变和共旋柯西应力）以及反向转换的信息。转换代码在 umat_abaqusnl.f 中。场 $\boldsymbol{F}$ 、 $\boldsymbol{E} ^{\mathcal{M}}$ 和 $\boldsymbol{S}$ 在子程序开始时可用（这些变量的含义在以下段落中解释）。

$\displaystyle e_{\ln}^{\mathcal{M}} = \sum_{i} \ln{\lambda_i^{\mathcal{M}}} \boldsymbol{n}_i \otimes \boldsymbol{n}_i,$

SB|(487)

其中 $\lambda_i^{\mathcal{M}}$ 是机械变形梯度 $\boldsymbol{F} ^{\mathcal{M}}$ 的特征值。在 CalculiX 中，机械变形梯度是通过从总变形梯度中减去热膨胀得到的，即：

$\displaystyle \boldsymbol{F} ^{\mathcal{M}}= \boldsymbol{F} - \alpha \Delta T \boldsymbol{I}$

TT|(488)

对于各向同性膨胀。这是将总变形梯度分解为机械分量和热分量的乘积分解的一阶近似，形式为 $\boldsymbol{F}= YQ|\boldsymbol{F}^{\mathcal{M}} (1 + \alpha \Delta T)$ ，另请参见 $\boldsymbol{F}=\boldsymbol{I} + (\nabla_0 \boldsymbol{u})^T$ 。旋转张量 $\boldsymbol{R}= \boldsymbol{n}_{\underline{i}} SS|\otimes \boldsymbol{N}_{\underline{i}}$ 将物质坐标中运动的主向量 $\boldsymbol{N}_i$ 旋转到空间坐标 $\boldsymbol{n}_i$ ：

$\displaystyle \boldsymbol{n}_i = \boldsymbol{R} \cdot \boldsymbol{N}_i.$

QM|(489)

它是一个二点张量，一只脚在物质参考系中，另一只脚在空间参考系中。共旋机械对数应变然后等于（回忆 $\boldsymbol{R}$ 是正交的，即 $\boldsymbol{R}^{-1} = \boldsymbol{R}^T$ ）：

$\displaystyle \hat{\boldsymbol{e}}_{\ln}^ {\mathcal{M}} = \boldsymbol{R}^T \cdo... YW|...sum_{i} \ln{\lambda_i^{\mathcal{M}}} \boldsymbol{N}_i \otimes \boldsymbol{N}_i.$

PP|(490)

$\lambda_i^{\mathcal{M}}$ 可以从机械拉格朗日张量 $\boldsymbol{E}^ {\mathcal{M}}= (\boldsymbol{F}^ {\mathcal{M},T} \cdot RT|\boldsymbol{F}^ {\mathcal{M}} - \boldsymbol{I})/2$ 的特征值得到，其特征向量为 $\boldsymbol{N}_i$ 。

$\displaystyle \boldsymbol{\sigma } = J^{-1} \boldsymbol{R} \cdot \boldsymbol{U} \cdot \boldsymbol{S} \cdot \boldsymbol{U}^T \cdot \boldsymbol{R}^T,$

MQ|(491)

$\displaystyle \hat{\boldsymbol{\sigma }} = \boldsymbol{R}^T \cdot \boldsymbol{\sigma } ...dsymbol{R} = J^{-1} \boldsymbol{U} \cdot \boldsymbol{S} \cdot \boldsymbol{U}^T.$

MN|(492)

这里，是雅可比行列式， $\boldsymbol{S}$ 是第二类 Piola-Kirchhoff 应力， $\boldsymbol{U}$ 是右伸缩张量。后者是柯西-格林张量 $\boldsymbol{C}$ 的平方根，因此它也可以从拉格朗日张量推导。然而，在 umat_abaqusnl.f 子程序中，机械拉格朗日张量是可用的，而总张量不可用。因此，需要总右伸缩张量和机械右伸缩张量之间的关系。由于 $\boldsymbol{U}$ 与 $\boldsymbol{F}$ 具有相同的特征值，变形梯度的乘积分解为机械和热变形梯度导致 $\lambda = \lambda ^ {\mathcal{M}} (1 + JP|\alpha \Delta T)$ ，可得：

$\displaystyle \hat{\boldsymbol{\sigma }} = J^{-1} \boldsymbol{U}^ {\mathcal{M}}... RX|...\boldsymbol{S} \cdot (\boldsymbol{U}^ {\mathcal{M}})^T (1 + \alpha \Delta T)^2.$

SX|(493)

后者方程假设热膨胀是各向同性的。在 umat_abaqusnl.f 子程序中， $\boldsymbol{S}$ 是已知的， $\boldsymbol{U}^ XN|{\mathcal{M}}$ 可以从 $\boldsymbol{E} ^{\mathcal{M}}$ 获得， $(1 + HX|\alpha \Delta T)$ 来自：

$\displaystyle (1 +\alpha \Delta T) = \sqrt{\frac{(\boldsymbol{F}^T \cdot \boldsymbol{F})_{11} }{2 \boldsymbol{E}^ {\mathcal{M}}_{11}+1 }},$

RN|(494)

其中下标 $_{11}$ 指相应矩阵的元素 (1,1)。通过这种方式，共旋柯西应力从第二类 Piola-Kirchhoff 应力获得。从 Abaqus 材料用户子程序返回后使用逆关系：

$\displaystyle \boldsymbol{S} = J \boldsymbol{U}^{-1} \cdot \hat{\boldsymbol{\sigma }} \cdot \boldsymbol{U ^{-T}}.$

HK|(495)

现在，CalculiX 需要 $\partial \boldsymbol{S}/\partial \boldsymbol{E}^{\mathcal{M}}$ （即总拉格朗日方法），然而，Abaqus 子程序返回 $\partial \hat{\boldsymbol{\sigma}} /\partial PV|\hat{\boldsymbol{e}}_{\ln}^{\mathcal{M}}$ 。现在，考虑到以下因素：

$\displaystyle \boldsymbol{S}_{KL}=J \boldsymbol{U}^{-1}_{KM} \hat{\boldsymbol{\sigma }}_{MN} \boldsymbol{U}^{-1}_{NL}$

QB|(497)

$\displaystyle \left ( \frac{\partial \boldsymbol{S}_{KL}}{\partial \boldsymbol{E}_{PQ}^{\mathcal{M}}} \right )$ NT| BP| NT| BP| NT| BP| NT|

$\displaystyle = J^{\mathcal{M}} \left( {\boldsymbol{C}^{\mathcal{M}}}^{-1}_{PQ}... QJ\|...MN} \left( {\boldsymbol{U}^{\mathcal{M}}}^{-1}_{NL} \right) (1+\alpha \Delta T)$	XY\|
	$\displaystyle + 2 J^{\mathcal{M}} \left( \frac{\partial{\boldsymbol{U}^{\mathca... QJ\|...MN} \left( {\boldsymbol{U}^{\mathcal{M}}}^{-1}_{NL} \right) (1+\alpha \Delta T)$	XY\|
	$\displaystyle +2 J^{\mathcal{M}}\left( {\boldsymbol{U}^{\mathcal{M}}}^{-1}_{KM... HW\|...ht) \left( {\boldsymbol{U}^{\mathcal{M}}}^{-1}_{NL} \right) (1+\alpha \Delta T)$	XY\|
	$\displaystyle +2 J^{\mathcal{M}}\left( {\boldsymbol{U}^{\mathcal{M}}}^{-1}_{KM... RQ\|..._{NL} }{\partial \boldsymbol{C}_{PQ}^{\mathcal{M}}} \right) (1+\alpha \Delta T)$	YX\|(498)

第二行括号中的第一项，第三行括号中的第三项和第四行括号中的第二项是函数关于 $\boldsymbol{C}$ 对 $\boldsymbol{C}$ 求导的特殊情况。基于 $\boldsymbol{C}$ 的特征值和结构张量的此类求导表达式由 Itskov [42] 推导并汇总在 [25] 的附录中。第三行括号中的第二项是 Abaqus UMAT 子程序返回的切线。

请注意，上述方程在 (KL) 和 (PQ) 中是对称的，即交换 K 和 L 和/或 P 和 Q。特别是，在第二项中交换 K 和 L 导致第四项。这种对称性是预期的，因为 $\boldsymbol{S}$ 和 $\boldsymbol{E} ^{\mathcal{M}}$ 是对称张量。然而，目前尚不清楚用 PQ 替换 KL 获得的对称性是否被保留。因此，在 CalculiX 中对生成的切线矩阵进行对称化处理，得到 21 个常数而不是 36 个。上述过程在 umat_abaqusnl.f 和 umat_abaqusnl_total.f 中实现。它仅用于那些仅为小应变 formul 的材料模型，例如弹塑性正交各向异性的等向塑性、Johnson_Cook 塑性和 Mohr_Coulomb 塑性。

$\displaystyle = J^{\mathcal{M}} \left( {\boldsymbol{C}^{\mathcal{M}}}^{-1}_{PQ}... QJ\|...MN} \left( {\boldsymbol{U}^{\mathcal{M}}}^{-1}_{NL} \right) (1+\alpha \Delta T)$	XY\|
	$\displaystyle + 2 J^{\mathcal{M}} \left( \frac{\partial{\boldsymbol{U}^{\mathca... QJ\|...MN} \left( {\boldsymbol{U}^{\mathcal{M}}}^{-1}_{NL} \right) (1+\alpha \Delta T)$	XY\|
	$\displaystyle +2 J^{\mathcal{M}}\left( {\boldsymbol{U}^{\mathcal{M}}}^{-1}_{KM... HW\|...ht) \left( {\boldsymbol{U}^{\mathcal{M}}}^{-1}_{NL} \right) (1+\alpha \Delta T)$	XY\|
	$\displaystyle +2 J^{\mathcal{M}}\left( {\boldsymbol{U}^{\mathcal{M}}}^{-1}_{KM... RQ\|..._{NL} }{\partial \boldsymbol{C}_{PQ}^{\mathcal{M}}} \right) (1+\alpha \Delta T)$	YX\|(498)