Zienkiewicz-Zhu误差估计器

Zienkiewicz-Zhu误差估计器[114], [115]试图估计有限元离散化所产生的误差。为此,它为每个节点计算改进的应力,并将误差定义为该应力与标准有限元程序计算的应力之间的差值。

使用标准有限元程序在节点上获得的应力是积分点应力的外推[24]。确实,机械计算中的基本未知量是位移。对位移进行求导得到应变,然后通过适当的本构关系将应变转换为应力。由于获得刚度系数时使用了数值积分,应变和应力在积分点处最准确。标准有限元程序将这些积分点值外推到节点。这种外推的方式取决于单元类型 [24]。通常,一个节点属于多个单元。标准程序对每个单元获得的应力值进行平均。

为了确定节点上更准确的应力值,Zienkiewicz-Zhu 过程从减缩积分点的应力开始。这一仅适用于二次单元,因为只有这些单元存在减缩积分过程(对于不同于C3D20R的单元类型,则取普通积分点)。减缩积分点是超收敛点,即应力比单元内任何其他点高一个数量级 [8]。为了改进节点处的应力,定义了一个单元片, 通常由节点所属的所有单元组成。然而,在边界处和对于四面体单元,该片也可以包含其他单元。现在,定义一个多项式函数,由所涉及单元形函数使用的单项式组成。同样,为提高精度,也可以考虑其他单项式。定义多项式的系数, 使其在片中减缩积分点处尽可能好地匹配应力(最小二乘意义)。最后,通过求值该多项式获得节点处的改进应力。对所有应力分量分别进行此项操作。关于CalculiX中实现的更多细节,请参见[63]。

在CalculiX中,可以通过在*EL FILE关键字卡片下选择ZZS来获得改进的CalculiX-Zhu应力。它适用于四面体和六面体单元。对于同时属于四面体、六面体和其他类型单元的节点,如果该节点不属于六面体单元,则仅使用六面体单元来定义改进应力,如果该节点不属于六面体单元,则使用四面体单元(如果有的话)。