简支梁优化

本节处理简支梁在应力方面的优化问题，并受质量不增加的约束。本示例展示了如何进行优化，过程本身是手动的，绝非优化后的。对于工业应用，通常会编写通用脚本来处理这里解释的手动步骤。

本示例使用文件opt1.inp、opt1.sh、opt2.fbl和op3.inp，均可在CalculiX测试套件中找到。文件opt1.inp包含问题的几何形状和加载：结构是一个简支梁（一端铰接，另一端滚动），中间有点力。图45显示了冯·米塞斯应力。

**图45:** 梁起始几何形状中的冯·米塞斯应力
$\begin{figure}\epsfig{file=opt1.eps,width=10cm}\end{figure}$

优化的目标是降低梁中的应力。最高应力出现在梁的中间和支座处（参见图45）。由于梁的几何形状变化不会减少支座处的应力（支座处的峰值应力是由支座的点性质引起的），设计变量集（即允许在优化过程中改变梁几何形状的节点）被选为梁中除支座附近节点外的所有节点。这些排除的节点如图46所示。

**图46:** 从设计变量集中排除的节点
$\begin{figure}\epsfig{file=opt2.eps,width=6cm}\end{figure}$

为了执行优化，必须确定目标函数相对于设计变量的敏度，同时考虑优化每个中间设计步骤（迭代）中的任何约束。目标函数和约束通常是设计响应。首先，每个设计响应的敏度在*SENSITIVITY步骤中确定。然后，在*FEASIBLE DIRECTION步骤中选择一个设计响应作为目标函数，一个或多个作为约束。在后一步中，将无约束目标的敏度与约束的敏度结合，以获得约束目标的敏度。

设计变量已在前面讨论过，构成允许设计改变的节点集。在本示例的输入卡中，这由以下行处理：

*DESIGNVARIABLES,TYPE=COORDINATE
DESIGNNODES

"DESIGNNODES"是包含如前所述的设计节点的节点集。对于要优化结构几何形状的优化问题，类型为COORDINATE。或者，可以优化结构中各向异性材料的取向，这由TYPE=ORIENTATION覆盖。

目标函数是要最小化的设计响应。在本示例中，需要最小化从所有设计节点中的冯·米塞斯应力计算的Kreisselmeier-Steinhauser函数（参见*DESIGN RESPONSE中该函数的定义）。同样，由于局部应力奇异性，支座节点不被考虑。目标函数由以下行处理：

*DESIGN RESPONSE, NAME=STRESS_RESP
MISESSTRESS,DESIGNNODES,10.,100.

在灵敏度步骤中，以及

*OBJECTIVE,TARGET=MIN
STRESS_RESP

在可行方向步骤的输入卡中。注意，用于定义Kreisselmeier-Steinhauser函数的节点集（*DESIGN RESPONSE卡下的第二个条目）不必与设计变量集相同。*DESIGN RESPONSE卡下的第三个和第四个条目构成Kreisselmeier-Steinhauser函数中的参数。具体来说，第四个条目是参考应力值，应与模型中实际最大应力值的数量级相同。第三个参数允许将最大应力值在模型的较小或较大区域中模糊化。

除了目标函数（只允许一个目标函数）外，还可以在可行方向步骤中定义一个或多个约束。在实际示例中，优化过程中梁的质量不应增加。这由以下内容处理：

*DESIGN RESPONSE, NAME=MASS_RESP
MASS,Eall

在灵敏度步骤中，以及

*CONSTRAINT
MASS_RESP,LE,1.

在可行方向步骤中。关于条目的含义，请参阅*DESIGN RESPONSE和*CONSTRAINT。注意，为了使此约束生效，用户应该为相关材料定义密度。在CalculiX中，约束是线性化的。这意味着，根据优化过程中的增量大小，约束将不会精确满足。

在CalculiX运行中，计算了目标和所有约束相对于设计变量的敏度。敏度不外乎是目标函数相对于设计变量的一阶导数（约束也是如此），即敏度显示如果改变设计变量，设计响应将如何变化。对于COORDINATE类型的设计变量，设计变量（即设计节点）的变化方向在局部上垂直于几何形状。因此，在我们的例子中，应力的敏度告诉我们如果沿局部法线方向改变几何结构，应力将如何变化（类似于质量约束）。如果敏度为正，则结构加厚时应力增加，反之亦然。可以通过使用过滤器对敏度进行后处理。在当前输入卡（opt1.inp）中，应用了以下过滤器：

*FILTER,TYPE=EXPLICIT,EDGE PRESERVATION=YES,DIRECTION WEIGHTING=YES
3.

选择过滤器为显式。对于默认为线性的过滤器，选择了3的半径（可以将其可视化为每个设计变量中的圆锥体，在其中集成敏度然后模糊），应保持尖角（EDGE PRESERVATION=YES，参见*FILTER），并且具有明显不同方向（例如正交）的表面在过滤时不考虑（或较少考虑，DIRECTION WEIGHTING=YES）。过滤器分别应用于每个设计响应。图47显示了过滤前的应力敏度，图48显示过滤后的应力敏度，图49显示过滤后的质量敏度。所有这些信息都可以通过在*NODE FILE卡下请求SEN获得。

**图47:** 过滤前的应力敏度
$\begin{figure}\centering \epsfig{file=opt3.eps,width=6cm}\end{figure}$

**图48:** 过滤后的应力敏度
$\begin{figure}\centering \epsfig{file=opt4.eps,width=6cm}\end{figure}$

**图49:** 过滤后的质量敏度
$\begin{figure}\centering \epsfig{file=opt5.eps,width=6cm}\end{figure}$