使用梁单元的悬臂梁

之前，一个厚悬臂梁用体单元建模。在本节中，对类似练习使用了二次梁单元（第6.2.33节）。梁单元易于定义：它们由一条线上的三个节点组成。在内部，它们扩展为体单元。有两种类型的梁单元：B32单元，扩展为C3D20单元；和B32R（减缩积分）单元，扩展为C3D20R单元。基于本节的结果，强烈推荐B32R单元。另一方面，应避免使用B32单元，特别是如果需要截面力的话。

首先研究的悬臂梁长度为100 mm，截面为2 x 2 mm的正方形。梁的轴线沿全局z方向。该梁仅用一个单元建模，在其端部施加x方向的单位力，图38。我们感兴趣的是积分点a和节点b处的应力、梁固定端的截面力，以及自由端x方向的位移。积分点a的位置在$x=-1/\sqrt{3}$、$y=1/\sqrt{3}$和$z=50(1+1/\sqrt{3})$，节点b的坐标为$x=-1$、$y=1$和$z=100$[24]。材料是各向同性线弹性，杨氏模量为100,000 MPa，泊松比为0.3。

**图38:** 梁的几何形状
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=simplebeam1.eps,width=12cm}\end{center}\end{figure}$

本示例的输入卡与测试套件中的simplebeam.inp示例非常相似：

**
**   Structure: cantilever beam, one element
**   Test objective: B32R elements.
**
*NODE,NSET=Nall
1, 0, 0, 0
2, 0, 0, 50
3, 0, 0, 100
*ELEMENT,TYPE=B32R,ELSET=EAll
1,1,2,3
*BOUNDARY
3,1,6
*MATERIAL,NAME=ALUM
*ELASTIC
1E7,.3
*BEAM SECTION,ELSET=EAll,MATERIAL=ALUM,SECTION=RECT
2.,2.
1.d0,0.d0,0.d0
*STEP
*STATIC
*CLOAD
1,1,1.
*EL PRINT,ELSET=Eall
S
*NODE FILE
U
*EL FILE,SECTION FORCES
S,NOE
*END STEP

积分点处的应力通过*EL PRINT卡获得，节点处的应力通过*EL FILE卡上的OUTPUT=3D选项（默认）获得，而截面力则使用同一卡上的SECTION FORCES选项（此选项与OUTPUT=3D选项互斥）。位移最好在非扩展视图中获得，即使用OUTPUT=2D选项。这意味着对于当前结果，示例需要运行两次：一次使用OUTPUT=3D选项，一次使用SECTION FORCES选项。

结果汇总在表3中。使用$\{mm, N, s, K\}$单位制。参考结果是使用简单梁理论的分析结果[79]。一致性非常好。积分点处的应力完全匹配，向节点外推的正应力也是如此。剪应力需要特别注意。对于梁，剪应力在截面上呈二次变化。然而，二次体单元只能模拟截面上的线性应力变化。因此，抛物线变化用截面上恒定的剪应力近似。由于减缩积分点（位于$\pm 1/\sqrt{3}$）恰好是抛物线应力达到其平均值的点，积分点处的值是精确的！外推到节点的值取相同的常数值，自然是错误的，因为角点的精确值为零。

截面力通过以下方式获得：

计算积分点处的应力（在单元内部，如积分点a）
将这些应力外推到角节点（如节点b）
通过相邻角节点之间的插值计算中间节点的应力
将截面面内所有节点上的应力插值到该面内的减缩积分点（如积分点c，使用面的形函数）
对这些应力进行数值积分。

如表3所示，这个过程对正方形梁产生了正确的截面力。

梁尖端的位移偏差10%。端部受剪力的梁的变形是三次的，然而C3D20R单元只能模拟二次行为。使用5个单元（表4）将偏差减少到2.4%。注意，现在积分点a更靠近固定端（在固定端相邻的单元中，位置与之前相同）。

**表3:** 受弯曲的正方形截面梁结果（1个单元）。
结果	值	参考
$\sigma_{zz}(a)$	34.151	34.151
$\sigma_{xz}(a)$	-0.25	-0.25
$F_{xx}$	-1.	-1.
$M_{yy}$	100.	100.
$\sigma_{zz}(b)$	75.	75.
$\sigma_{xz}(b)$	-0.25	0.
$u_{x}$	2.25	2.50

**表4:** 受弯曲的正方形截面梁结果（5个单元）。
结果	值	参考
$\sigma_{zz}(a)$	41.471	41.471
$\sigma_{xz}(a)$	-0.25	-0.25
$F_{xx}$	-1.	-1.
$M_{yy}$	100.	100.
$\sigma_{zz}(b)$	75.	75.
$\sigma_{xz}(b)$	-0.25	0.
$u_{x}$	2.45	2.50