细长轴上旋转盘的频率计算

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**   结构：安装在细长轴上的圆盘
**   测试目标：复频率计算，
**                   输出转动惯量。
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*NODE, NSET=Nall
     1,6.123233995737e-17,1.000000000000e+00,0.000000000000e+00
     ...
*ELEMENT, TYPE=C3D20R, ELSET=Eall
     1,     1,     2,     3,     4,     5,     6,     7,     8,     9,    10,
          11,    12,    17,    18,    19,    20,    13,    14,    15,    16
          ...
*BOUNDARY
Nfix,1,3
*Solid Section, elset=Eall, material=steel
*Material, name=STEEL
*Elastic
 210000., 0.3
*DENSITY
7.8e-9
*Step,nlgeom
*Static
*dload
Eall,centrif,3.0853e8,0.,0.,0.,0.,0.,1. 
*end step
*step,perturbation
*frequency,STORAGE=YES
 10,
*end step
*step,perturbation
*complex frequency,coriolis
10,
*node file
pu
*end step

**图10:** 转子特征频率
$\begin{figure}\epsfig{file=rotor4.eps,width=12cm}\end{figure}$

这是一个复频率计算的示例。一个外径为10、内径为2、厚度为0.25的圆盘安装在外径2、内径1的中空轴上（示例rotor.inp在测试示例中）。圆盘安装在轴的中间，轴的端部在所有方向上固定。轴在圆盘两侧的长度为50。该示例的输入文件如上所示。

输入文件从节点和单元的定义开始。集合Nfix包含轴端的节点，这些节点在所有方向上固定。材料是普通钢。注意，离心载荷需要密度。

由于圆盘旋转，存在离心力形式的预载。因此，第一步是非线性几何静态步，用于计算此载荷引起的变形和应力。通过在后续频率步中选择扰动参数，该预载在频率计算的刚度矩阵计算中被考虑。得到的结果特征频率存储在文件rotor.dat的顶部（转速9000 rad/s时见图10）。在*FREQUENCY步中，求解特征值问题，其特征值（图10顶部的第一列）是结构特征频率的平方（第二至第四列）。如果特征值为负，则得到虚数特征频率。对于转速9000 rad/s的转子，两个最低特征值会出现这种情况。对于转速低于约6000 rad/s的情况，所有特征频率都是实数。图11显示了最低特征频率随转速（最高18000 rad/s）的变化（+和x曲线）。

**图11:** 作为转速函数的特征频率
$\begin{figure}\epsfig{file=rotor5.eps,width=8cm,angle=270}\end{figure}$

虚数特征频率的物理意义是什么？频率计算产生的特征模态包含项 $e^{i \omega t}$ 。如果特征频率 $\omega$ 是实数，则得到正弦或余弦；如果 $\omega$ 是虚数，则得到递增或递减的指数函数[24]。因此，对于虚数特征频率，响应不再是振荡的：它会无限增加，系统会分离。观察图11可以看出，最低特征频率随转速增加而降低，直到在约6000 rad/s的转速下接近零。此时特征频率变为虚数，转子会分离。长期以来这使工程师感到困惑，因为实际系统在达到超临界转速时并未发生分离。

这里的关键点是注意计算是在旋转坐标系（固定在轴上）中进行的。牛顿定律在加速参考系中不成立，而旋转坐标系是加速的。牛顿定律需要 correction term in the form of a Coriolis force。引入科里奥利力导致了复非线性特征值系统，这可以用*COMPLEX FREQUENCY过程求解（参见第6.9.3节）。可以证明，得到的特征频率是实数，但特征模态通常是复数。这导致旋转特征模态。

为了使用*COMPLEX FREQUENCY过程，必须在前面的*FREQUENCY步（STORAGE=YES）中计算并存储无科里奥利力的特征模态（参见输入文件）。复频率响应是这些特征模态的线性组合。*COMPLEX FREQUENCY步中请求的特征频率数量不应超过前一步*FREQUENCY步的数量。由于特征模态是复数，最好在*NODE FILE卡下以幅度和相位形式存储。

**图12:** 两节点特征模态
$\begin{figure}\epsfig{file=rotor2.eps,width=8cm}\end{figure}$

**图13:** 三节点特征模态
$\begin{figure}\epsfig{file=rotor3.eps,width=8cm}\end{figure}$

旋转轴的 correct eigenvalues 导致图11中的直线。每条线代表一个特征模态：最低的下降线是从(-z)方向看的 two-node counter clockwise (ccw) 特征模态，最高的下降线是 three-node ccw 特征模态，最低和最高的上升线共同构成 two-node clockwise (cw) 特征模态。节点是径向运动为零的位置。图12显示两节点特征模态，图13显示三节点特征模态。注意，如果图11中x轴和y轴的比例相同，这些直线将位于 $45^\circ$ 下。

令人惊讶的是，两条上升直线对应同一个特征模态。例如，对于5816 rad/s的轴速，同一个特征模态出现在特征频率0和11632 rad/s处。然而，请记住特征模态是在旋转系统中计算的，即随轴旋转的观察者所看到的。为了得到固定观察者的频率，必须考虑相对于一条穿过原点并平分图表的 $45^\circ$ 直线。该观察者将在5816 rad/s和-5816 rad/s处看到同一个特征模态，因此是cw和ccw。

最后，科里奥利效应并非总是重要。一般来说，细长的旋转结构（大叶片...）会表现出明显的频率偏移 due to Coriolis。